حل تمرین1و2 صفحه 52 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم سلام! برای پیدا کردن **دامنه** توابع، باید مطمئن شویم که ضابطه تابع **تعریف شده** باشد. در توابع کسری، مخرج نباید صفر باشد، و در توابع رادیکالی با فرجه زوج، عبارت زیر رادیکال نباید منفی باشد. 🧐 --- ### الف) $f(x) = \frac{x - ۱}{۲ - x}$ * **شرط**: مخرج $\ne ۰$. $$۲ - x \ne ۰ \implies x \ne ۲$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_f = \mathbb{R} - \{۲\}}$ --- ### ب) $f(x) = -\frac{۳x}{x^۲ + ۱}$ * **شرط**: مخرج $\ne ۰$. $$x^۲ + ۱ \ne ۰$$ چون $x^۲ \ge ۰$، پس $x^۲ + ۱ \ge ۱$. بنابراین مخرج هیچگاه صفر نمی‌شود. * **دامنه**: $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ --- ### پ) $f(x) = \frac{۲x + ۳}{x^۲ + x - ۱۲}$ * **شرط**: مخرج $\ne ۰$. ریشه‌های مخرج را پیدا می‌کنیم: $$x^۲ + x - ۱۲ = ۰$$ با تجزیه: $(x + ۴)(x - ۳) = ۰$. ریشه‌ها $x = -۴$ و $x = ۳$. * **دامنه**: $\mathbf{D_f = \mathbb{R} - \{-۴, ۳\}}$ --- ### ت) $f(x) = \sqrt{۳x + ۱}$ * **شرط**: عبارت زیر رادیکال $\ge ۰$. $$۳x + ۱ \ge ۰ \implies ۳x \ge -۱ \implies x \ge -\frac{۱}{۳}$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_f = [-\frac{۱}{۳}, +\infty)}$ --- ### ث) $f(x) = ۲\sqrt{x} - ۳$ * **شرط**: عبارت زیر رادیکال $\ge ۰$. $$x \ge ۰$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_f = [۰, +\infty)}$ --- ### ج) $f(x) = \sqrt{۸ - x}$ * **شرط**: عبارت زیر رادیکال $\ge ۰$. $$۸ - x \ge ۰ \implies ۸ \ge x \implies x \le ۸$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_f = (-\infty, ۸]}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم سلام! این تمرین در مورد **تبدیلات نمودار توابع** است. نمودار $g(x) = -\frac{۱}{x}$ در مقایسه با نمودار $f(x) = \frac{۱}{x}$، یک **قرینه سازی** را نشان می‌دهد. ### روش رسم نمودار $g(x) = -\frac{۱}{x}$ 1. **شناسایی رابطه**: ضابطه $g(x)$ برابر است با **قرینه ضابطه $f(x)$**: $\mathbf{g(x) = -f(x)}$ 2. **قانون تبدیل**: هرگاه نمودار $\mathbf{y = -f(x)}$ را از روی نمودار $\mathbf{y = f(x)}$ رسم می‌کنیم، باید نمودار اصلی را نسبت به **محور طول‌ها ($x$)** قرینه کنیم. ### توضیح تبدیل * **نمودار $f(x) = \frac{۱}{x}$**: در ربع اول ($x>۰, y>۰$) و ربع سوم ($x<۰, y<۰$) قرار دارد. * **اعمال قرینه‌سازی**: * قسمت واقع در **ربع اول** (که $y$ مثبت است) نسبت به محور $x$ قرینه می‌شود و به **ربع چهارم** منتقل می‌شود. * قسمت واقع در **ربع سوم** (که $y$ منفی است) نسبت به محور $x$ قرینه می‌شود و به **ربع دوم** منتقل می‌شود. **نتیجه**: نمودار تابع $g(x) = -\frac{۱}{x}$ با **قرینه کردن** نمودار $f(x) = \frac{۱}{x}$ نسبت به **محور $x$ها** به دست می‌آید.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم این تمرین نیز یک تبدیل ساده بر روی نمودار توابع رادیکالی است. 🌿 ### روش رسم نمودار $y = -\sqrt{x}$ 1. **شناسایی تابع اصلی**: تابع اصلی $\mathbf{f(x) = \sqrt{x}}$ است. (نمودار از $(۰, ۰)$ شروع شده و به سمت راست بالا می‌رود). 2. **شناسایی رابطه**: ضابطه تابع مورد نظر برابر است با **قرینه تابع اصلی**: $\mathbf{y = -f(x)}$ 3. **قانون تبدیل**: برای رسم نمودار $\mathbf{y = -f(x)}$، باید نمودار اصلی را نسبت به **محور طول‌ها ($x$)** قرینه کنیم. ### مراحل رسم * **نمودار $y = \sqrt{x}$**: در ربع اول قرار دارد. * **اعمال قرینه‌سازی**: قسمت‌های نمودار اصلی نسبت به محور $x$ قرینه می‌شوند. **نتیجه**: نمودار $\mathbf{y = -\sqrt{x}}$ از $(۰, ۰)$ شروع شده و به سمت راست **پایین** می‌رود و در **ربع چهارم** قرار می‌گیرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم این تمرین مهارت‌های شما را در رسم **توابع چندضابطه‌ای و تبدیلات رادیکالی** به چالش می‌کشد. برای هر تابع، ابتدا دامنه و سپس برد را از روی نمودار یا تحلیل ضابطه پیدا می‌کنیم. --- ### الف) $f(x) = \begin{cases} \frac{۱}{x} & x > ۰ \\ x - ۲ & x \le ۰ \end{cases}$ **۱. دامنه**: اجتماع دو بازه: $\mathbf{D_f = (-\infty, ۰] \cup (۰, \infty) = \mathbb{R}}$ **۲. رسم و برد**: * **$x > ۰$**: نمودار $y = \frac{۱}{x}$ در ربع اول. (برد $(۰, \infty)$) * **$x \le ۰$**: نمودار $y = x - ۲$. (خطی با شیب ۱ و عرض از مبدأ $-۲$). * نقطه مرزی: $f(۰) = ۰ - ۲ = -۲$. * برد این بخش: $(-\infty, -۲]$. * **برد کل**: اجتماع برد دو بخش: $\mathbf{R_f = (-\infty, -۲] \cup (۰, \infty)}$ --- ### ب) $f(x) = \sqrt{x - ۲} + ۵$ **۱. دامنه**: زیر رادیکال $\ge ۰$: $x - ۲ \ge ۰ \implies x \ge ۲$. $\mathbf{D_f = [۲, \infty)}$ **۲. رسم و برد**: * **تبدیل**: نمودار $\mathbf{y = \sqrt{x}}$ را **۲ واحد به راست** و **۵ واحد به بالا** منتقل می‌کنیم. * **نقطه شروع**: $(۲, ۵)$. * **برد**: از نقطه شروع $(۲, ۵)$ به سمت بالا می‌رود. $\mathbf{R_f = [۵, \infty)}$ --- ### پ) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x + ۲} & x > ۰ \\ \sqrt{x + ۲} & -۲ \le x \le ۰ \end{cases}$ **۱. ساده‌سازی ضابطه و دامنه**: چون ضابطه در هر دو بازه یکسان است، می‌توانیم بازه‌ها را ترکیب کنیم: $$D_f = [-۲, ۰] \cup (۰, \infty) = \mathbf{[-۲, \infty)}$$ $$f(x) = \sqrt{x + ۲} \quad \text{برای } x \ge -۲$$ **۲. رسم و برد**: * **تبدیل**: نمودار $\mathbf{y = \sqrt{x}}$ را **۲ واحد به چپ** منتقل می‌کنیم. * **نقطه شروع**: $(-۲, ۰)$. * **برد**: از نقطه شروع $( -۲, ۰)$ به سمت بالا می‌رود. $\mathbf{R_f = [۰, \infty)}$ --- ### ت) $f(x) = \begin{cases} \frac{۱}{x} & x < ۰ \\ \sqrt{x} & x \ge ۰ \end{cases}$ **۱. دامنه**: * $\frac{۱}{x}$: $x \ne ۰$. پس برای $x < ۰$ تعریف شده است. * $\sqrt{x}$: $x \ge ۰$. * **دامنه کل**: $\mathbf{D_f = (-\infty, ۰) \cup [۰, \infty) = \mathbb{R}}$ **۲. رسم و برد**: * **$x < ۰$**: نمودار $y = \frac{۱}{x}$ در ربع سوم. (برد $(-\infty, ۰)$) * **$x \ge ۰$**: نمودار $y = \sqrt{x}$ در ربع اول. (برد $[۰, \infty)$) * **برد کل**: اجتماع برد دو بخش: $\mathbf{R_f = (-\infty, ۰) \cup [۰, \infty) = \mathbb{R}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم برای تشخیص تابع بودن، از **آزمون خط عمودی** استفاده می‌کنیم: اگر به ازای یک $x$، بیش از یک $y$ وجود داشته باشد، آن رابطه تابع نیست. --- ### الف) $۳x + ۲y = ۱۲$ * **بررسی**: این یک **خط راست** است که می‌توان آن را به صورت $y = -\frac{۳}{۲}x + ۶$ نوشت. به ازای هر $x$، تنها یک $y$ به دست می‌آید. * **نتیجه**: $\mathbf{تابع \text{است}}$. --- ### ب) $x = ۱$ * **بررسی**: این یک **خط عمودی** است. به ازای $x=۱$، $y$ می‌تواند هر عدد حقیقی باشد. (بی‌نهایت $y$ برای یک $x$) * **نتیجه**: $\mathbf{تابع \text{نیست}}$ (آزمون خط عمودی نقض می‌شود). --- ### پ) $y = -۲$ * **بررسی**: این یک **خط افقی** است. به ازای هر $x$، تنها یک $y$ (همان $-۲$) وجود دارد. * **نتیجه**: $\mathbf{تابع \text{است}}$ (تابع ثابت). --- ### ت) $f(x) = \begin{cases} x + ۳ & x \le ۰ \\ x - ۱ & x \ge ۰ \end{cases}$ * **بررسی**: این یک تابع **چندضابطه‌ای** است. تنها نقطه مشترک دو ضابطه، $athbf{x = ۰}$ است. * $f(۰)$ در ضابطه اول: $۰ + ۳ = ۳$. * $f(۰)$ در ضابطه دوم: $۰ - ۱ = -۱$. * **تناقض**: به ازای $x=۰$، تابع دو خروجی متفاوت $y=۳$ و $y=-۱$ دارد. * **نتیجه**: $\mathbf{تابع \text{نیست}}$ (آزمون خط عمودی در $x=۰$ نقض می‌شود). --- ### ث) $y^۲ = x^۳$ * **بررسی**: باید $y$ را بر حسب $x$ به دست آوریم: $y = \pm \sqrt{x^۳}$. * برای $x=۴$ (به شرطی که $x^۳ \ge ۰$، یعنی $x \ge ۰$): $y = \pm \sqrt{۴^۳} = \pm ۸$. * **تناقض**: به ازای $x=۴$، دو خروجی $y=۸$ و $y=-۸$ وجود دارد. * **نتیجه**: $\mathbf{تابع \text{نیست}}$ --- ### ج) $y = |x|$ * **بررسی**: این معادله به صورت صریح بر حسب $y$ نوشته شده است. به ازای هر $x$، تنها یک مقدار $|x|$ و در نتیجه تنها یک $y$ به دست می‌آید. * **نتیجه**: $\mathbf{تابع \text{است}}$ --- **توابعی که معادله آن‌ها تابع را مشخص می‌کند:** $$\mathbf{(\text{الف}) \quad ۳x + ۲y = ۱۲}$$ $$\mathbf{(\text{پ}) \quad y = -۲}$$ $$\mathbf{(\text{ج}) \quad y = |x|}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم سلام! این یک مسئله مدل‌سازی شده توسط یک **تابع کسری** است که اغلب در مدل‌های اقتصادی و زیست‌محیطی دیده می‌شود. تابع $\mathbf{f(x)}$ نشان می‌دهد که هزینه پاک‌سازی با افزایش درصد آلودگی، به صورت نمایی بالا می‌رود. --- ### الف) هزینه پاک‌سازی ۵۰% آلودگی * **ورودی**: $x = ۵۰$ (۵۰ درصد) * **ضابطه**: $f(x) = \frac{۲۵۵x}{۱۰۰ - x}$ مقدار $x=۵۰$ را در ضابطه جایگذاری می‌کنیم: $$f(۵۰) = \frac{۲۵۵(۵۰)}{۱۰۰ - ۵۰} = \frac{۲۵۵ \times ۵۰}{۵۰}$$ $$f(۵۰) = \mathbf{۲۵۵}$$ **نتیجه**: هزینه پاک‌سازی ۵۰ درصد آلودگی این رودخانه **۲۵۵ میلیون تومان** است. --- ### ب) دامنه واقعی تابع **۱. محدودیت جبری (دامنه طبیعی)**: تابع $f(x)$ یک تابع کسری است. مخرج نباید صفر باشد: $$۱۰۰ - x \ne ۰ \implies x \ne ۱۰۰$$ **۲. محدودیت واقعی (مفهومی)**: * **$x$ درصد آلودگی** است. درصد همواره باید در بازه $[۰, ۱۰۰]$ باشد. * از نظر عملی، هزینه پاک‌سازی **۱۰۰ درصد** آلودگی در این مدل **بی‌نهایت** است (مخرج صفر می‌شود). همچنین پاک‌سازی منفی درصد آلودگی معنی ندارد. **۳. دامنه واقعی**: با توجه به اینکه $x$ نمی‌تواند به ۱۰۰ برسد و نمی‌تواند منفی باشد: $$\mathbf{\text{دامنه واقعی} = [۰, ۱۰۰)}$$ **توضیح**: این مدل نشان می‌دهد که هرچه به ۱۰۰ درصد نزدیک شویم، هزینه به دلیل سختی پاک‌سازی‌های نهایی، به بی‌نهایت میل می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر رسم **توابع جزء صحیح** (پله‌ای) تأکید دارد. نمودار این توابع از قطعات افقی تشکیل شده است. 🪜 --- ### الف) $f(x) = [x] + ۱ \quad , \quad -۲ \le x < ۳$ مقدار $\mathbf{[x]}$ در بازه‌های صحیح ثابت است. سپس مقدار ثابت ۱ به آن اضافه می‌شود. | بازه $x$ | مقدار $[x]$ | مقدار $f(x) = [x] + ۱$ | نمودار (پله) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $-۲ \le x < -۱$ | $-۲$ | $-۲ + ۱ = -۱$ | پاره‌خط افقی در $y=-۱$, شامل $(-۲, -۱)$ | | $-۱ \le x < ۰$ | $-۱$ | $-۱ + ۱ = ۰$ | پاره‌خط افقی در $y=۰$, شامل $(-۱, ۰)$ | | $۰ \le x < ۱$ | $۰$ | $۰ + ۱ = ۱$ | پاره‌خط افقی در $y=۱$, شامل $(۰, ۱)$ | | $۱ \le x < ۲$ | $۱$ | $۱ + ۱ = ۲$ | پاره‌خط افقی در $y=۲$, شامل $(۱, ۲)$ | | $۲ \le x < ۳$ | $۲$ | $۲ + ۱ = ۳$ | پاره‌خط افقی در $y=۳$, شامل $(۲, ۳)$, تا $x=۳$ (توخالی) | **برد**: $\mathbf{R_f = \{-۱, ۰, ۱, ۲, ۳\}}$ +1$ for $-2 \le x < 3$] --- ### ب) $f(x) = [\frac{۱}{۲}x] \quad , \quad -۴ \le x < ۴$ مقدار جزء صحیح در هر بازه‌ای که $\mathbf{\frac{۱}{۲}x}$ در آن ثابت باشد، ثابت است. برای این کار، $\frac{۱}{۲}x$ را بین اعداد صحیح متوالی قرار می‌دهیم: $$k \le \frac{۱}{۲}x < k + ۱ \implies ۲k \le x < ۲k + ۲$$ | مقدار $k$ | بازه $x$ (بر اساس دامنه) | مقدار $f(x) = k$ | نمودار (پله) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $-۲$ | $-۴ \le x < -۲$ | $-۲$ | پاره‌خط افقی در $y=-۲$, شامل $(-۴, -۲)$ | | $-۱$ | $-۲ \le x < ۰$ | $-۱$ | پاره‌خط افقی در $y=-۱$, شامل $(-۲, -۱)$ | | $۰$ | $۰ \le x < ۲$ | $۰$ | پاره‌خط افقی در $y=۰$, شامل $(۰, ۰)$ | | $۱$ | $۲ \le x < ۴$ | $۱$ | پاره‌خط افقی در $y=۱$, شامل $(۲, ۱)$, تا $x=۴$ (توخالی) | **برد**: $\mathbf{R_f = \{-۲, -۱, ۰, ۱\}}$ $ for $-4 \le x < 4$]

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا تفاوت بین **انتقال عمودی** و **انتقال افقی** در توابع جزء صحیح را درک کنید. ### الف) رسم نمودارها **۱. تابع $f(x) = [x] - ۳$ (انتقال عمودی)**: این نمودار، همان نمودار اصلی $athbf{y = [x]}$ است که **۳ واحد به سمت پایین** منتقل شده است. * $f(x) = k$ برای $k \le x < k+۱$. * مثلاً در بازه $[۰, ۱)$: $f(x) = ۰ - ۳ = -۳$. * در بازه $[۳, ۴)$: $f(x) = ۳ - ۳ = ۰$. **۲. تابع $g(x) = [x - ۳]$ (انتقال افقی)**: این نمودار، همان نمودار اصلی $athbf{y = [x]}$ است که **۳ واحد به سمت راست** منتقل شده است. * $g(x) = k$ وقتی $k \le x - ۳ < k + ۱ \implies k + ۳ \le x < k + ۴$. * مثلاً در بازه $[۳, ۴)$: $g(x) = [x - ۳]$. اگر $x=۳$, $g(۳)=[۰]=۰$. اگر $x=۳.۹$, $g(۳.۹)=[۰.۹]=۰$. ### ب) رابطه بین دو تابع بر اساس **قانون جابجایی جزء صحیح**، اگر $n$ یک عدد صحیح باشد: $$\mathbf{[x \pm n] = [x] \pm n}$$ در این مورد، $n=۳$ است. پس داریم: $$g(x) = [x - ۳] = [x] - ۳$$ از طرفی، ضابطه تابع اول برابر بود با $f(x) = [x] - ۳$. **نتیجه**: دو تابع $\mathbf{f(x) = [x] - ۳}$ و $\mathbf{g(x) = [x - ۳]}$ **با یکدیگر مساوی** هستند. نمودارهای آن‌ها کاملاً بر هم منطبق هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۵۲ حسابان یازدهم سلام! این مسئله از یک **تابع کسری** برای مدل‌سازی رشد آمار افراد آلوده به ویروس استفاده می‌کند. 🦠 --- ### الف) تعداد افراد آلوده در انتهای ماه پنجم * **ورودی**: انتهای ماه پنجم یعنی $athbf{t = ۵}$. * **ضابطه**: $n(t) = \frac{۹۵۰۰t - ۲۰۰۰}{۴ + t}$ مقدار $t=۵$ را جایگذاری می‌کنیم: $$n(۵) = \frac{۹۵۰۰(۵) - ۲۰۰۰}{۴ + ۵} = \frac{۴۷۵۰۰ - ۲۰۰۰}{۹} = \frac{۴۵۵۰۰}{۹}$$ **محاسبه**: $\frac{۴۵۵۰۰}{۹} \approx \mathbf{۵۰۵۵.۵۶}$ **نتیجه**: چون تعداد افراد باید یک عدد صحیح باشد، تعداد افرادی که در انتهای ماه پنجم آلوده شده‌اند، تقریباً **۵۰۵۶ نفر** است. --- ### ب) زمان لازم برای رسیدن به ۵۵۰۰ نفر * **خروجی**: $n(t) = ۵۵۰۰$. * **معادله**: $\frac{۹۵۰۰t - ۲۰۰۰}{۴ + t} = ۵۵۰۰$ **گام ۱: حل معادله کسری** $$۹۵۰۰t - ۲۰۰۰ = ۵۵۰۰(۴ + t)$$ $$۹۵۰۰t - ۲۰۰۰ = ۲۲۰۰۰ + ۵۵۰۰t$$ **گام ۲: ساده‌سازی و حل برای $t$** $$۹۵۰۰t - ۵۵۰۰t = ۲۲۰۰۰ + ۲۰۰۰$$ $$۴۰۰۰t = ۲۴۰۰۰$$ $$t = \frac{۲۴۰۰۰}{۴۰۰۰} = \mathbf{۶}$$ **نتیجه**: پس از **۶ ماه**، تعداد افراد آلوده به ۵۵۰۰ نفر خواهد رسید.